باهم ریاضی بخونیم و لذت ببریم
Nov 1, 2026 6 min read
📜 چیت‌شیت جامع و کامل ریاضیات پایه (همراه با مثال)
بخش ۱: حساب پایه، اعداد و اولویت‌ها
- قانون علامت‌ها (جمع و تفریق): هم‌علامت‌ها جمع می‌شوند و علامت می‌ماند؛ غیرهم‌علامت‌ها از هم کم می‌شوند و علامت عدد بزرگ‌تر می‌نشیند.
| مثال: $-3 - 2 = -5$ | $-5 + 3 = -2$ |
- قانون علامت‌ها (ضرب و تقسیم): هم‌علامت $\rightarrow$ مثبت، غیرهم‌علامت $\rightarrow$ منفی.
| مثال: $(-3) \times (-2) = +6$ | $(+4) \times (-2) = -8$ |
- اولویت عملیات (PEMDAS): پرانتز $\rightarrow$ توان/رادیکال $\rightarrow$ ضرب/تقسیم $\rightarrow$ جمع/تفریق.
- مثال: $2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$
- کسرها (جمع و تفریق): نیاز به مخرج مشترک.
- مثال: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$
- کسرها (ضرب و تقسیم): ضرب صورت در صورت و مخرج در مخرج / تقسیم = ضرب در معکوس کسر دوم.
- مثال: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
- تناسب (طرفین وسطین):
- مثال: $\frac{2}{3} = \frac{4}{x} \rightarrow 2x = 12 \rightarrow x = 6$
بخش ۲: توان، جذر و رادیکال‌ها
- توان: ضرب تکراری یک عدد در خودش.
- مثال: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
- جذر (رادیکال): معکوس توان دو.
- ساده‌سازی رادیکال‌های غیرمربع کامل: شکستن به حاصل‌ضرب مربع کامل.
- مثال: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
- جمع و تفریق رادیکال‌های متشابه:
- مثال: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
بخش ۳: جبر مقدماتی، اتحادها و معادلات
- مربع دو جمله‌ای: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ (جمله آخر همیشه مثبت است).
- مثال: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
- اتحاد مزدوج: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ (برای تجزیه: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$)
- مثال: $(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$
- اتحاد جمله مشترک: $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$
- مثال: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6$
- معادلات درجه دو (ویژگی صفر):
- مثال: $(x - 3)(x + 2) = 0 \rightarrow x = 3, x = -2$
بخش ۴: هندسه و اندازه‌گیری
- محیط: مجموع طول تمامی اضلاع بیرونی.
- مثال: مستطیل با طول ۵ و عرض ۳ $\rightarrow \text{محیط} = 5 + 5 + 3 + 3 = 16$
- مساحت: طول $\times$ عرض.
- مثال: مستطیل با طول ۵ و عرض ۳ $\rightarrow \text{مساحت} = 5 \times 3 = 15$
- قضیه فیثاغورس (مثلث قائم‌الزاویه): $(\text{وتر})^2 = (\text{ضلع}_1)^2 + (\text{ضلع}_2)^2$
- پیدا کردن وتر: اضلاع ۳ و ۴ $\rightarrow \text{وتر} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
- پیدا کردن ضلع مجهول: وتر ۱۰، ضلع ۶ $\rightarrow \text{ضلع} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$
بخش ۵: مختصات و توابع
- مختصات $(x, y)$: $x$ افقی، $y$ عمودی.
- مثال: نقطه $(-4, 3)$ یعنی ۴ واحد چپ و ۳ واحد بالا.
- ماشین تابع: ورودی $x$ $\rightarrow$ قانون $\rightarrow$ خروجی $y$.
- مثال: $y = 2x + 3$ با ورودی $x = 5 \rightarrow y = 2(5) + 3 = 13$
- معادله خط ($y = mx + b$): $m$ شیب خط، $b$ عرض از مبدأ.
- مثال: در خط $y = -2x + 7$، شیب خط $m = -2$ (سرپایینی) و عرض از مبدأ $b = 7$ است.
بخش ۶: نامعادلات
- قانون طلایی علامت منفی: ضرب یا تقسیم طرفین نامعادله در عدد منفی، جهت علامت را برعکس می‌کند.
- مثال: $-2x \le 8 \rightarrow x \ge -4$ (جهت علامت برگشت).
📜 چیت‌شیت جامع و کامل ریاضیات پایه (همراه با مثال)
بخش ۱: حساب پایه، اعداد و اولویت‌ها
- قانون علامت‌ها (جمع و تفریق): هم‌علامت‌ها جمع می‌شوند و علامت می‌ماند؛ غیرهم‌علامت‌ها از هم کم می‌شوند و علامت عدد بزرگ‌تر می‌نشیند.
| مثال: $-3 - 2 = -5$ | $-5 + 3 = -2$ |
- قانون علامت‌ها (ضرب و تقسیم): هم‌علامت $\rightarrow$ مثبت، غیرهم‌علامت $\rightarrow$ منفی.
| مثال: $(-3) \times (-2) = +6$ | $(+4) \times (-2) = -8$ |
- اولویت عملیات (PEMDAS): پرانتز $\rightarrow$ توان/رادیکال $\rightarrow$ ضرب/تقسیم $\rightarrow$ جمع/تفریق.
- مثال: $2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$
- کسرها (جمع و تفریق): نیاز به مخرج مشترک.
- مثال: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$
- کسرها (ضرب و تقسیم): ضرب صورت در صورت و مخرج در مخرج / تقسیم = ضرب در معکوس کسر دوم.
- مثال: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
- تناسب (طرفین وسطین):
- مثال: $\frac{2}{3} = \frac{4}{x} \rightarrow 2x = 12 \rightarrow x = 6$
بخش ۲: توان، جذر و رادیکال‌ها
- توان: ضرب تکراری یک عدد در خودش.
- مثال: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
- جذر (رادیکال): معکوس توان دو.
- ساده‌سازی رادیکال‌های غیرمربع کامل: شکستن به حاصل‌ضرب مربع کامل.
- مثال: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
- جمع و تفریق رادیکال‌های متشابه:
- مثال: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
بخش ۳: جبر مقدماتی، اتحادها و معادلات
- مربع دو جمله‌ای: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ (جمله آخر همیشه مثبت است).
- مثال: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
- اتحاد مزدوج: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ (برای تجزیه: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$)
- مثال: $(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$
- اتحاد جمله مشترک: $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$
- مثال: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6$
- معادلات درجه دو (ویژگی صفر):
- مثال: $(x - 3)(x + 2) = 0 \rightarrow x = 3, x = -2$
بخش ۴: هندسه و اندازه‌گیری
- محیط: مجموع طول تمامی اضلاع بیرونی.
- مثال: مستطیل با طول ۵ و عرض ۳ $\rightarrow \text{محیط} = 5 + 5 + 3 + 3 = 16$
- مساحت: طول $\times$ عرض.
- مثال: مستطیل با طول ۵ و عرض ۳ $\rightarrow \text{مساحت} = 5 \times 3 = 15$
- قضیه فیثاغورس (مثلث قائم‌الزاویه): $(\text{وتر})^2 = (\text{ضلع}_1)^2 + (\text{ضلع}_2)^2$
- پیدا کردن وتر: اضلاع ۳ و ۴ $\rightarrow \text{وتر} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
- پیدا کردن ضلع مجهول: وتر ۱۰، ضلع ۶ $\rightarrow \text{ضلع} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$
بخش ۵: مختصات و توابع
- مختصات $(x, y)$: $x$ افقی، $y$ عمودی.
- مثال: نقطه $(-4, 3)$ یعنی ۴ واحد چپ و ۳ واحد بالا.
- ماشین تابع: ورودی $x$ $\rightarrow$ قانون $\rightarrow$ خروجی $y$.
- مثال: $y = 2x + 3$ با ورودی $x = 5 \rightarrow y = 2(5) + 3 = 13$
- معادله خط ($y = mx + b$): $m$ شیب خط، $b$ عرض از مبدأ.
- مثال: در خط $y = -2x + 7$، شیب خط $m = -2$ (سرپایینی) و عرض از مبدأ $b = 7$ است.
بخش ۶: نامعادلات
- قانون طلایی علامت منفی: ضرب یا تقسیم طرفین نامعادله در عدد منفی، جهت علامت را برعکس می‌کند.
- مثال: $-2x \le 8 \rightarrow x \ge -4$ (جهت علامت برگشت).